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微积分定理
中值定理
中值定理：函数$y=f(x)$满足：
- $f(x)$在$[a,b]$上连续
- $f(x)$在$(a,b)$上可导
那么在$(a,b)$上，至少存在一个点$c$，使得
$$
\begin{equation}
f’(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
\end{equation}
$$
或
$$
\begin{equation}
f(b)-f(a)=f’(c)(b-a)
\end{equation}
$$
与此相关的是函数的增减性和导数的关系。
极值定理
极值定理：若$y=f(x)$在$[a,b]$上有定义且连续，则在$[a,b]$上存在点$c,d$，使得$f(c)\geq f(x)\geq f(d), x \in [a, b]$
与此相关的是函数的极值和导数的关系。
介值定理
介值定理：如果在$[a,b]$上$y=f(x)$有定义且连续，那么函数值都在$f(a)$和$f(b)$之间；也就是说，如果$K$是$f(a)$和$f(b)$之间的任何一个数，那么在$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f(c)=K$。
与此相关的是函数根存在定理，即勘根定理
隐函数
定义
如果方程$F(x,y)=0$能确定$y$是$x$的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。
求导
将$y$看成$x$的函数，对整个式子求导即可。
例
$$
x^2+y^2+2x=0
$$
两边求导，得
$$
2x+2yy’+2=0
$$
即
$$
y’=\frac{-x-1}{y}
$$
求导应用
1、对二次曲线方程求导
2、对显函数两边求$\log$降幂后求导
高阶导数
$$
y^{(n)}=(-1)^nn!x^{-(n+1)}
$$
牛顿迭代求根
$$
x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f’(x_1)}
$$
如此进行下去直到无定义为止。
微分
切线逼近
$$
\begin{equation}
f(x+dx)\cong f(x)+dy
\end{equation}
$$
其中$dy=f’(x)dx$，即
$$
\begin{equation}
f(x+dx)\cong f(x)+f’(x)dx
\end{equation}
$$
积分
不定积分
$$
\int f(x)dx=F(x)
$$
幂函数积分：
$$
\begin{equation}
\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1},\quad n\neq -1
\end{equation}
$$
复合函数
$$
\begin{equation}
\int [f(x)^n]f’(x)dx=\frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1},\quad n\neq -1
\end{equation}
$$
运算法则
$$
\begin{equation}
\int cf(x)dx=c\int f(x)dx
\end{equation}
$$
$$
\begin{equation}
\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx
\end{equation}
$$
